➗ 分数計算

分数の計算力は、約分と通分のスムーズさでほぼ決まります。 そして約分と通分は、どちらもたった1つの原理の上に乗っています—— 「分母と分子に同じ数をかけても、同じ数で割っても、分数の大きさは変わらない」。 ピザを2倍細かく切って2倍の枚数を取れば、食べる量は同じ、というだけの話です。

実戦のコツは前章とつながっています。 24/36の約分は、÷2、÷2、÷3と小刻みに進めても正解ですが、 最大公約数12で割れば1回で既約分数になります（途中でやめてしまう事故も防げます）。 通分は分母の最小公倍数にそろえるのが最小の手数。 どちらも、はしご算（第4章）がそのまま分数の武器になるのです。

分母が違う分数のたし算・引き算は、「通分してから、分子だけたす」の一本道です。 1/6+3/8なら、分母を24にそろえて4/24+9/24=13/24。 なぜ分母どうしをたしてはいけないのか——分母は「何等分したか」という単位の名前であって、 数える対象ではないからです。「6分の」と「8分の」は単位が違うので、 cmとmをそのまま足せないのと同じく、単位をそろえる（通分する）必要があります。

帯分数のたし算・引き算は2つの道

3と5/7 + 4と4/5のような帯分数の計算には、 整数部分と分数部分を分けて計算する道と、仮分数に直してから計算する道があります。 分けて計算する方が数が小さく済み、速くて確実です（分数部分があふれたら整数に1繰り上げる）。 仮分数方式は確実ですが分子が大きくなりがちで、計算ミスの温床になります。 まず「分けて計算」を本線として教え、つまずいたら仮分数方式を見せる、の順がおすすめです。

分数のかけ算は「分母どうし、分子どうしをかける」——手順は1行ですが、 理由を聞かれると詰まります。答えは面積のタイル数えにあります。

1辺1mの正方形を縦7等分・横3等分すると、7×3=21枚のタイルができ、1枚は1/21m²。 たて4/7m・よこ2/3mの長方形はタイル4×2=8枚分だから8/21m²。 分母どうしの積はタイルの総数（どれだけ細かく切ったか）、 分子どうしの積は使う枚数（何枚分か）——規則そのものが図に書いてあるのです。

「分数の割り算は、なぜひっくり返してかけるの?」—— 大人を最も困らせる算数の質問として、おそらく不動の第1位です。 丸暗記で乗り切った人がほとんどですが、説明の筋は意外なほどシンプルです。 鍵は「÷1なら答えは割られる数そのもの」という当たり前の事実。 つまり、割る数を1に変えられれば勝ちなのです。

割られる数と割る数の両方に同じ数をかけても答えは変わらない （第3章の小数点のダンスで使った性質）ので、両方に「割る数の逆数」をかけます。 すると割る数は逆数との積で1になって消え、 残るのは「割られる数×逆数」——これが「ひっくり返してかける」の正体です。 2/5で割ることと5/2をかけることが同じだと、変形の途中式ごと見せられれば、 この質問はもう怖くありません。

分数と小数は、同じ量の「2通りの表記」です。着替え方は方向で違います。

• 分数→小数: 分子÷分母を計算する。1/4=1÷4=0.25（分数の線は「÷」の化身）
• 小数→分数: 位の読みをそのまま書く。0.25=「100分の25」=25/100→約分して1/4

着替えができると、計算の選択肢が倍になります。 0.25×8なら1/4×8=2と暗算した方が速く、1/3+0.1のような混在問題も どちらかにそろえれば一本道です。 ただし1/3=0.333…のように小数では書き切れない分数もあるので、 「分数のほうが守備範囲が広い」ことも添えておきましょう。